Wie kann man unendlich viele Bücher über einer Tischkante stapeln? In der Sommerkakademie der Hochbegabten-Stiftung der Kreissparkasse Köln, haben wir uns unter anderem mit dieser Frage beschäftigt.

Die Akademie fand im wissenschaftlichen Physikzentrum in Bad Honnef statt, wo alle Teilnehmenden für die Dauer der Akademie auch untergebracht waren. Wir hatten die Wahl zwischen fünf unterschiedlichen Arbeitsgemeinschaften. Ich war in der AG für Mathematik, die sich für zehn Tage mit der Definition und Anwendung von Unendlichkeit auseinandergesetzt hat.

Im Rahmen der Selbsterarbeitung hat unsere AG-Leiterin ein Arbeitsheft mit den verschiedensten Aufgaben zusammengestellt. Wir fingen also an, die Grundlagen der Mengenlehre zu erarbeiten, um die auf uns zukommenden Erklärungen verstehen zu können.

Im Laufe der AG differenzierten wir zwischen abzählbaren Unendlichkeiten - eine Unendlichkeit deren Größe der unserer (natürlichen) Zahlen entspricht - und überabzählbaren Unendlichkeiten, welche noch größer sind und die wir nicht mehr „abzählen“ können.

Um dieses Prinzip der Unendlichkeit besser verstehen zu können, beschäftigten wir uns mit mehreren Gedankenexperimenten, auch mit dem Hilberts Hotel. Bei dem Hilberts Hotel handelt es sich um ein Hotel mit unendlich vielen Gästezimmern, das mit dem Unterbringen der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und letztlich der irrationalen Zahlen beauftragt wurde. Eigenständig überlegten wir, wie das Hotel seine Zimmer aufteilen könnte, und besprachen Lösungsansätze so wie aufgekommene Fragen zusammen.

Ein mehr praktisch angelehntes Beispiel, mit dem wir uns auseinandergesetzt haben, ist das Bücherstapel-Problem. Dabei handelt es sich um eine mathematische Überlegung, die auf das Stapeln von Büchern an einer Tischkante angewandt wurde. Unendlich viele Bücher sollen aufeinandergelegt werden, wobei jedes Buch ein Stück mehr über die Tischkante ragen soll.

Normalerweise hätten wir erwartet, dass der Stapel irgendwann umkippt, aber mit Hilfe der harmonischen Reihe, einer mathematischen Addition von bestimmten Brüchen, war das Problem schnell verstanden und gelöst. Zusammen haben wir in der AG die Anwendung von Unendlichkeit auch demonstriert und selbst einen Bücherstapel gebaut, auch wenn unserer sicher nicht unendlich war.

Im Anschluss knüpften wir uns noch das Banach-Tarski-Paradoxon vor. Dies zeigt, dass es in der Mathematik Eigenschaften gibt, die in der Physik nicht wiederzufinden sind. Zudem bestätigt es auch, dass es Mengen gibt, die nicht unbedingt definiert werden können, also es auch unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt.

Zum großen Finale der Sommerakademie hat jede Arbeitsgemeinschaft eine Präsentation ihrer gesammelten Erkenntnisse geplant und geprobt. Da wir alle fasziniert von dem neuen Wissen über Unendlichkeiten waren, haben wir uns innerhalb der AG in verschiedene Gruppen aufgeteilt, um viele Vorträge für je ein anderes Paradoxon zustande zu bringen.

Natürlich erfolgte schon vor der Abschlussveranstaltung reichlich Austausch zwischen allen Teilnehmenden und auch Freundschaften wurden geknüpft, denn in der Sommerakademie befindet man sich unter Gleichgesinnten, die ein ebenso großes Interesse an ihrem gewählten Fach haben wie man selbst.

Miruna Peusquens